(资料图)

1、证法1：设∠1=∠BAD，∠2=∠CAD由分角定理，S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)→ (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1)S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)→ (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2)(1.1)式+(1.2)式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD。

2、证法2：由正弦定理，AD/sinB=BD/sin∠1，　(2.1)AD/sinC=CD/sin∠2，　(2.2)AB/sinC=BC/sin(∠1+∠2)，　(2.3)AC/sinB=BC/sin(∠1+∠2)；　(2.4)那么由(2.1)，(2.2)，BD=ADsin∠1/sinB，CD=ADsin∠2/sinC，从而BC=BD+CD=AD(sin∠1/sinB+sin∠2/sinC)　(2.5)由(2.3)，(2.4)，知sin∠1/AC=sin∠1sin(∠1+∠2) / BCsinB，sin∠2/AB=sin∠2sin(∠1+∠2) / BCsinC。

3、将以上两式相加，并将(2.5)代入即可。

4、证法3：由面积和得：0.5sin∠BAD*BA*AD+0.5sin∠DAC*DA*AC=0.5sin∠BAC*BA*AC。

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